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1

色散波

色散界说为光频率或传播风物对介质中相速率存在影响的效应。当光束通过介质时，不同频率的光波在介质中将具有不同的折射率或传播速率。这将使得通过介质的各光波在空间上发目生离，在时辰上变得不同步，即对入射光波在空域和时域上的分散产生影响。

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一种材料在全波段下的色散弧线

 联接菲涅尔公式，色散在空间域上主要知道为光束的分离：

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三棱镜色散

在真空中，不同光波都具有相易的速率c，但在介质中，光波的传播速率和介质折射率关系，在不商量其他非线性光学效应的同期，色散效应在时域上主要知道为不同频率光速率的延长或光脉冲的展宽。不同频率光速率上的各别导致了波包的扩散或迷漫，如底下所示：

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色散导致光脉冲的展宽

色散分为当年色散和反常色散，当年色散中高频波比低频波传播速率慢，正反常色散中高频波比低频波传播速率快。

2

相速率

相速率是波上相位固定的少许的传播速率,即等相位面的迁徙速率，它不传递信息，波不错用一个正弦或余弦函数边幅：

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 要是磨砺快波振幅为恒定的某少许，则该点在t0时刻和t1时刻应具有相易的相位，即：

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      也即是说t0到t1时辰段内，该点由z0位置传输到了z1位置，则其传播速率为：

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      并吞列波，相邻两个波峰（或波谷）的距离是λ，时辰为T，波的传播速率为v=λ/T，是以上式还可写为：

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3

群速率

等振幅面的传播速率称为波包的群速率，不错通过计较包络振幅最大处（即波包中心处）的传播速率获得，波包的群速率代表了能量或信号的传递速率，群速率是对于一族频率左近的波的传播速率。假设沿并吞想法传播的频率不同的两束波为：

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频率不同的两束波的近似

其传播想法为z轴，振幅为1，λ1、λ2与δ1、δ2分手为两束波的波长及开头相位，两列波的波数为：

k1=2π/λ1，k2=2π/λ2

      两束波近似后（振幅调制波）可写为：

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式中

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近似之后场的波动如图中的蓝色实线所示，它泄露了某霎时沿z轴的振幅分散，蓝色虚线是蓝色实线波动的包络弧线。因此，近似后的波动呈现出二重周期振动。其中快波（蓝色实线）的周期是两束波周期的平均值，当该两束波周期进出较小时，快波与原波有约莫相易的周期；而慢波（蓝色虚线）变化的频率是原波频率之差。要是磨砺快波（蓝色实线）振幅为恒定的某少许：

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      那么该点的传播速率为：

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而慢波（蓝色包络线）振幅为恒值的某点为：

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      因此它的迁徙速率为：

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当光波在色散介质中传播时，由于频率不同，其传播速率也不同，其合成波的波形在传播经过中不息地产生渺小变形，此时很难确切界连系成波的速率。不外，当ω1≈ω2，且ω＞＞Δω时，不错合计合成波的波形变化缓缓，因而仍可用调制包络的迁徙速率来界说群速率。

     当Δω很小（因而Δk很小）时，有：

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      以上是由不同神态推出的群速抒发式，可适用于不同场景。上式中，vg泄露群速率，v泄露相速率，λ泄露真空中波长，λn=λ/n泄露介质中的波长。当用介质中的波长λn泄露群速时，有：

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      同期，群速和相速之间的关系还不错由以下神态推得，因：

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对ω取微商：

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或

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即

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折射率n=c/v，把c/vg界说为“群速折射率”ng，并用真空波长λ=2πc/ω代替ω作自变量，于是ωdn/dω=-λdn/dλ，则上式可改写为：

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高频载波以蓝色败露，低频包络以红色败露。红色和蓝色线条分手以群速率和相速率迁徙

以下是用desmos数学软件画图的近似波传输泄露图：

1、无色散（dn/dλ=0）时

从下图不错看出，近似波中，包络前进的速率（群速率）与包络下高频波前进的速率（相速率）相易。 y1和y2传播速率极端（都等于ω/k=2），群速率和相速率也极端，本体上，皇冠赔率唯有真空才属于这种情况。

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2、当年色散（dn/dλ＜0）时

从下图不错看出，近似波中，包络前进的速率（群速率）比包络下高频波前进的速率（相速率）要小。y1和y2传播速率不同，群速率和相速率不极端。

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3、反常色散（dn/dλ＞0）时

从下图不错看出，近似波中，包络前进的速率（群速率）比包络下高频波前进的速率（相速率）要大。y1和y2传播速率不同，群速率和相速率不极端。

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不同频率的光在并吞介质中的折射率是不同样的，于是不同频率的光的相速率也不同样，这即是相速率色散。当Δω很小时（二阶导数d2ω/dk2近似等于0，即忽略了群速率色散），此时介质中的合成包络不错合计莫得发生变化。而当Δω较大时（d2ω/dk2等高阶导数不可忽略时/传播常数不均匀低随频率变化），则合成包络的阵势会快速发生变化，这即是群速率色散。相速率色散是色散的一阶效应，而群速率色散是色散的二阶效应。

 以上仅以两个频率为例商议相速和群速，而推行中的光束都具有一定的频谱宽度，是以对于频率鸠合变化的很多波的近似，设其振幅为A(k)，则近似后的效果为：

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      设中心频率为ω0，相应的波数为k0，令：

k-k0=δk

要是以ω0为中心把ω张开为δk的级数，则

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      上式中下角标“0”泄露ω=ω0时的值，而vg具有速率量纲。假如Δk较小（窄带），振幅A(k)变化缓缓，此时咱们只能取上式中的前两项，则泄露该波群的群速抒发式为：

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      需要强调的是，因为Δω很窄，是以上述论断中忽略了ω(k)张开式中的高次项（忽略二阶及以上高阶小量），此时可合计脉冲包络不随传播距离发生变化。

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窄带下ω和k的近似线性关系

当不成忽略张开式中的高次项时（在ω(k)张开式入网及二阶及以上小量），波包的阵势将随时辰而快速扩散，这时就必须商量高次项对群速带来的影响。

唯有在色散很小的介质中传播时，群速率才不错视为一个波群的传播速率。要是Δω较大（宽带），不同频率的群速率将不一致，则得不到相识的波群，复色波群速率的主见也就没成心旨。

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宽带下ω和k的非线性关系

下图为商量群速率色散后（d2ω/dk2）的脉冲传输泄露图：

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光波泄露图（红色点为波前速率，绿点为群速率，蓝点为相速率）

4

相速率和群速率的相对关系

在折射率随波长变化的色散介质中，有一定光谱宽度的波，其相速与群速是不同的量。群速率是波包的传播速率（振幅最大点的迁徙速率），而波动佩带的能量与振幅平方成正比，是以群速率即是光能量或光信号的传播速率，这就意味着它约略传递信息，时常实验中测量到的光脉冲的传播速率即是群速率，而不是相速率。

      下图为相速率和群速率大小的相对关系:

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相速率和群速率大小的相对关系|https://resource.isvr.soton.ac.uk/spcg/tutorial/tutorial/Tutorial_files/Web-further-dispersive.htm

Phase velocity = Group Velocity：要是所有不同的波长具有十足相易的相速率，则包络不错保抓恒定，即群速率等于相速率；

Phase velocity = -Group Velocity：包络与重量波的指导想法相背；

Phase velocity > Group Velocity：重量波比包络迁徙的快；

Phase velocity < Group Velocity：重量波比包络迁徙的慢；

Group Velocity = 0：当重量波通过包络时，包络是静止的；

Phase velocity = 0：唯有包络在静止重量波上迁徙。

要结束信号传递，必须对波进行振幅或频率的调制，这就波及到不啻一个频率的波所构成的波群，因此用群速率来泄露信号速率时，不错合计群速率只在真空或在物资当年色散的情况下是成心旨的。这时因为接纳比拟小，一个波群（波列）在一定距离内的传播不会发生显赫的衰减，这么，信号传播才成心旨。对于反常色散情况，由于波的能量被物资热烈接纳，波马上衰减，波群不成传播。此时群速率就不在具有物理意旨，不成用来泄露信号速率。

以上即是本期的一皆内容。下期咱们先容与色散关系的群延时（GD）、群速率色散（GVD）、群延时色散（GDD）等主见。

参考府上：

1、https://electroagenda. com/en/ group-velocity- mathematical-proof/

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2、https://www.rp-photonics. com /group_velocity.html

3、赵凯华. 光学新主见物理教程. 高档陶冶出书社, 2004.

4、卢亚雄. 激光束传输与变换技艺. 电子科技大学出书社, 1999

5、郁谈银. 工程光学. 机械工业出书社澳门巴黎人炸金花, 2015.